Évolution d'une chaîne de Markov à n états

Propriété  

Soit une chaîne de Markov  \((X_k)\) à  \(n\) états dont la distribution initiale  \(X_0\) et  \(T\) la matrice de transition associée sont connues. À chaque étape du processus, on a la relation de récurrence \(X_{k+1}=X_kT\) .

Remarque

Attention, ici  \(X_k\) est une matrice ligne donc, dans le produit,  \(X_k\) est forcément à gauche de \(T\) pour que la multiplication de matrices soit possible. On en déduit immédiatement par récurrence le théorème suivant.

Théorème  

Soit une chaîne de Markov  \((X_k)\) à  \(n\) états dont la distribution initiale  \(X_0\) et  \(T\) la matrice de transition associée sont connues. À chaque étape  \(k\) du processus, on a \(X_k=X_0T^k\) .

Exemple

En reprenant l'exemple précédant, si  \(X_0\) correspond à la distribution du lundi, pour calculer la distribution du vendredi de la même semaine, on calcule \(X_4=X_0T^4\) .

\(T^4\approx\begin{pmatrix} 0,4101 & 0,5899 \\ 0,4008 & 0,5992\end{pmatrix}\)  et \(X_4 \approx\begin{pmatrix} 0,4055 & 0,5955 \end{pmatrix}\)

Les calculs de puissances de matrices étant rapidement très lourds, en terminale, on prendra en général des systèmes à  \(2\) ou \(3\)  états, qui sont suffisants pour modéliser la plupart des problèmes.